博雅小学堂

给孩子受益终生的人文底色

文丨彦峰

北京大学经济学学士

孙维刚数学思维课负责人

一个正上小学六年级的孩子，一个暑假之间，开始主动探索初中数学，这其中发生了什么？

这个孩子的数学思维课老师，北大毕业的彦峰老师说：其实，想让孩子数理开窍，只需一次透彻思考就够了。

那么孩子学会透彻思考的关键点在哪里？以下是彦峰老师三个思维过程的梳理。

我暑期带很多孩子学习数学，有个微妙的发现。

起因是，有个家长给我写了一段评语说，他的孩子被我“拽”着成长了。

那个孩子改变有多大？他是个小学生，但现在能够自主探索初中知识了。举个例子，他已经开始理解三角形具有相似的特性，甚至开始去计算一些简单的三角函数。这其实就是“拽一下”之后，他自己独立探索出来的。

我就开始回忆，是怎么“拽”那个孩子的呢？当明白了孩子是怎么“被拽了那一下”，其实就能够判断是什么让孩子真正意义地学习了。

这个过程是怎么实现的？

01

解题步骤：想问题是有步骤的

很多时候，孩子数学开窍，其实是从彻底搞懂一道题开始的。

比如，这个暑假我就和这个孩子讨论过一道比较经典有趣的题，“牛吃草”。

很多孩子常见的做法是，三个字：背公式。公式我也放在下图了，找到公式，当然能很快做出来。

但是，我想灵魂拷问你一下：

这样学习，觉得喜欢么？

觉得思考明白了嘛？

如果题目变化，还会做么？（现在是夏天，草在生长；如果冬天，草在枯萎呢？）

究竟学到了什么？

如果数学变成背公式，那孩子完全变成了一个背诵公式的机器。

而且这里面还有一件事，你没觉得很恐怖吗？就是孩子的好奇心，孩子对事情背后追问“为什么”的欲望，被刚刚那个公式给扼杀了。

很多孩子学习时的一个共性问题，就是他会变成只在乎答案。——“老师，你快告诉我怎么做吧”。

时间久了之后，他自己对数学学习就失去了耐心。他对自己能否把一道题想清楚，失去了渴望。这才是比较麻烦的地方。

怎么解决这个问题呢？

我们说“数理开窍，关键是一次思考透”，那透彻思考的第一个关键点在哪？在于弄明白解决问题的步骤。

那么，我就带着这个暑期班的孩子示范，如何解决“牛吃草”问题。

思路方式就是：学会实验、学会计算、学会观察、学会思考。

在这里首先是，计算：10 头牛8天吃了80。7 头牛14天吃了98。

接着，观察：看看算出来的数，能提出什么问题吗？——诶，为什么同一片草吃的总量不一样？

重要的是思考：噢，原来草一直在长。——你看这就是问题的本质，把所有变量都抛开，不变的思考关键点就是，草一直在长。

多吃了6天，草长了18。那么每天长3。

这个时候，其实就把刚刚的第一个公式推导出来了：

我经常跟这个孩子讲，你闭上眼睛能不能感觉面前有一块草地，一直在生长？你不管哪一天来看它，草量都是能计算出来的？

当孩子能感受到的时候，接下来就好办了，无论题目怎么变，无论是 10 头牛在吃，还是15 头牛在吃，这个关键点都是不变的。

通过“牛吃草”的例子，是想告诉大家，当孩子想不明白的时候，点拨他的人肯定不是点拨公式，而是带着孩子弄明白，一步步怎么思考问题。

最后你会发现，孩子问我问题，我给他讲一遍没有意义，因为孩子可以在任何地方看到完整的求解过程。

关键点是什么？是去矫正孩子思维的过程，找到他思维的关键点。

好的数学思维能力，不是说提前学，也不是说做了多少奥数题，而是能够想清楚思考问题的方法，就是有实验、计算、观察、再思考。

有这样的思维习惯和能力，遇到问题才不会畏难，总会愿意上手试一试，摸一摸，玩一玩。这样孩子未来不管学什么，他都可以学得更好。

这是我们认为在小学阶段要培养的孩子的一种心态和能力。有些孩子太想要结果了，他在问问题的时候也是，“老师你不要告诉我这道题怎么一步步思考，就告诉我这一步为啥我做不出来”。总是畏难，总是急。

02

解题思想：想问题是有思路的

刚刚我们讲“牛吃草”问题，讲的是解题步骤。现在我们来说，解题思想。因为总得有解题思想来指导步骤，否则我的步骤最后也是无头苍蝇。

我们再来看一道题目，这也是一个非常经典的小学数学问题。但问题背后反映的是解决问题的具体能力。

题目如下：

你觉得 ABC 哪一路径用的时间最短？

很多人下意识觉得B，因为两点之间线段最短嘛，这是很多人都有的套路记忆。

这道题，其实答案不重要。因为我会把水里和岸上的速度都告诉孩子，然后总能算出最短的时间。

但是为什么有的孩子能一眼看出答案？

因为去看待每一个问题，总有一个合适的数学思想。在这道题里的数学思想是什么？就是假设水里的速度特别慢，慢到几乎不动，那么这就说明水里的距离直接占了主导地位。那直接让水中的距离最短就可以了，其实岸上就不用看了。放在这道题里， c 的速度就是时间最短的。

这就是「极限假设」思想。

这是很多孩子聪明的重要来源，就是我不仅可以按部就班地算，而且还能在算的时候有自己明确的想法，能够找到合适的路径。

我们继续下一个问题。如图：

左下角发射激光，左上角有一个小怪兽。激光通过镜子反射，最后打到小怪兽。

问：每次反射，激光都加强，如何画镜子，能尽可能加强激光消灭小怪兽？

第一次看到这个问题，内心里很惶恐，对吧？

这里的解题思想就是，能不能「逆向思考」？——先把路径画出来，然后再画反射镜不就可以了吗？如下图，一下子是不是就特别简单了？

这里的解题思想是，如果一个问题很难，那就正难则反，能不能反过来想想问题？

这才是真正意义上在教孩子数学，思路很重要。他可能今天用的是「极限思想」，下一次用的「正难则反」，再下一次用的「数形结合」，再再下一次用的「分类讨论」，但这些思路本身都是孩子在正儿八经自己完成了一个难题的过程中得到的训练。

这个训练的关键点很重要，而不是单纯说模仿公式把答案做出来了。

我把答案抄了，我做了个错题本，这些东西形式上都不重要，而事实上更重要的是什么呢？大家都在做，差别不在谁做谁没做，而是做这些事的标准是什么，是套用公式，还是看到了解题思想。

很多孩子在解决问题的时候，就在那里死抠。关键就是孩子没有感受到，哦，原来有那么多思路可以为我所用。

03

本质思考：站在系统的高度，多题归一

再往深里走，真正意义的顶尖老师带学生的时候，还要更深的地方在哪？

最顶尖的学生，看待问题，已经不单纯是有思路了，而是他看待这个世界形成了自己的一些观察和总结。

这甚至已经脱离了数学，进入到更广泛的理科学习里去。

这可能需要经年累月的训练，经年累月的总结，老师跟孩子相互交流、相互点拨才能够做到了。

举个简单例子，我们看三个数学公式：

线段的长度，没有公式，就是n。

正方形的面积，n 的平方。

立方体的体积，n 的三次方。

线面体，看起来平平无奇，对吧？大家都知道。

但是当我们把很多事情联系起来的时候，微妙的事情发生了。

正方体的体积公式，是边长的三次方，那我来问大家一句，球的体积公式，和半径是二次方还是三次方关系？

这就是一个「量级思想」的运用。如果是体积，那就是三次方。

当然到这里，只是个初探，我们会发现量级思想在未来的学习里无处不在。

到高中就会发现，动能公式和向心力公式，速度与它们的大小关系又都是“平方”关系。

「量级思想」是要深深地落在孩子的感受里的。不是脑子里，而是感受里。

除了量级思想，还有广义对称思想等等，这些思想除了在数学，在物理、化学等所有理科的学习都是打通的。当孩子进入到这个层级思考问题，他一定不会单纯记公式了，而是会调动全部的身心脑，共同去感受所有学科背后思想的高度一致性。

所以为什么我说“透彻思考，只需要一次就够了”？

因为很多孩子，在学习数学时候从来没有体验过，这三个思维层级。

第一层级是，解决问题的步骤明白了，讲究思维的有序性、连贯性。

第二层级是，除了有解题步骤，还有看到底层的解题思路。

最后，更高的层级是，站在系统的高度，做本质思考。

所有最后数学学得好的孩子，一定是站在系统的高度，高屋建瓴、势如破竹，思如泉涌，多题归一，多解归一，那个“一”，就是对一个问题的理解足够深，足够透彻。

我暑假那个六年级的学生，他在自己主动研究初中数学的解题思路，这个孩子能学差吗？不能吧。

为什么？因为这个孩子在小学展现出来的透彻思考的水平，不夸张地说，甚至超过了很多高中生。很多高中生学到最后都是稀里糊涂过去的。

所以我们最后想要传达的观点是什么？

——世间万物，均有本质规律。

只要会学习，可以融会贯通。

最后，孩子学的是，如何解决一系列的数学题，但其实这也是如何学会学习，如何解决工作生活中任何问题的思想。

这样的孩子才是有力量的，不是考试的机器，而是能够积极处理各种各样问题的人。他遇到所有的新问题，新概念，新挑战，他都能够跟过去的所学，反复自我印证，自我训练，自我强化，他就会变得越来越“聪明”，事半功倍。

我们希望孩子能够体会到思考透彻的喜悦。

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