网络在许多现实世界的场景中自然产生，它们在自然科学和工程领域无处不在。从数学上讲，网络是具有附加特征和属性的数学图。数学图是一种概念结构，由一组节点（正确的术语是顶点）和连接这些节点的链接（称为边）组成。数学的许多重要问题研究了这些图的性质。

但是，你可以为图的顶点和边分配额外的属性，以建模现实世界中的物理对象。例如，支持机器学习和人工智能工具（如ChatGPT）的人工神经网络是通过调整顶点之间连接强度——即它们的权重——来学习和表示信息的。这类似于大脑中生物神经元之间的突触权重，这些也可以作为网络进行数学建模和研究。这些权重代表了分配给顶点的一个额外的“特征”或属性，对特定应用至关重要。这类例子和应用在当今世界中几乎是无穷无尽的。

在图论中，图的一个重要分类标准是看图中的边是否有方向。在有向图中，边有特定的方向，意味着信息只能按特定方向从一个顶点传递到另一个顶点。相比之下，在无向图中，边的方向不重要，信息可以在顶点之间双向流动。

许多现实世界的网络通常被建模为有向图，这很合理。然而，许多用于计算和研究图性质的重要数学方法仅适用于无向图。而对有向图的计算分析往往在数学上更加复杂且具有限制性。从实际角度来看，如果能够使用适用于无向图的已知方法的改编版本来分析和解决有向图的某些问题类别，将非常有用。

在最近发表在MDPI Mathematics上的一篇论文中，作者通过在图的背景下使用范畴论的概念和原理来解决这个问题。

范畴论研究抽象的数学结构及其关系。这些结构或范畴由一组“对象”和一组称为“态射”的对象之间的关系组成。范畴论最初在纯数学中发展起来，作为在数学领域中建立看似不同且不相关部分之间联系的一种方法。

但近年来，范畴论被广泛应用于自然科学和工程学中，包括机器学习和人工神经网络、生物网络和社会网络的应用。

我们通过首先构建一个编码方向概念的无向图范畴来将有向图框架桥接到无向图框架。我们称之为素图范畴（Prime graph category），该范畴的对象是配备“素标签”的无向图，以及保持素标签的态射。

该研究的关键思想是，这种素标签在无向图结构上提供了方向的概念，使我们在转换为有向图时可以定义唯一的方向，反之亦然。

有了这个思路，我们构建了一个数学联系（技术上是一个双射函子），将简单有向图的范畴与素图范畴联系起来，从而保留方向的概念。值得一提的是，通过简单地考虑基础结构并“忽略”方向，总是可以将有向图与无向图建立一种简单的关系。这种对应关系产生了一个不可逆的“遗忘函子”。作者在论文中还提供了一个（伪）算法来执行素图变换。

这是首次在保留方向概念的同时，将有向图的态射转换为无向图的问题进行研究。这对我们和其他人感兴趣的实际应用类型，尤其是网络对齐问题至关重要。网络对齐（Network alignment）是一种技术，使我们能够比较两个不同的网络，这对于许多现实世界的应用非常重要。

虽然已经有若干用于无向图的网络对齐工具，但据我们所知，没有用于有向图的网络对齐工具。

这个问题有着悠久的历史，许多数学和计算方法从不同的角度解决了这个问题。通常，这样的比较是通过“将一个网络叠加在另一个网络上”来进行的，使它们之间的结构——或拓扑——尽可能保持一致，然后计算网络之间的相似度得分。虽然已经有若干用于无向图的网络对齐工具，但据我们所知，没有用于有向图的网络对齐工具。

在这篇论文中开发的方法尝试通过它们对应的素图（这些是无向的）来对有向图执行网络对齐。通过使用合成生成的网络对进行实验证实，并展示了方法的有效性，这些网络对的配对相似性是已知的，并由图生成器的配对相关系数控制。结果显示了生成的网络及其结果配对网络相似度得分之间的强统计对应关系。作者还扩展了方法，并改进了相关的（谱）图分析方法，这些方法计算以某种方式划分或“切割”图的图性质。

来自：老胡科学